PlayGround.ru
Ropnet
, Grand Theft Auto: San Andreas на Xbox, продать игру Grand Theft Auto 5, Star Wars: Battlefront 3 видео


Математический софизм

Waх   22 апреля 2010 в 19:09

Раз пошла такая пьянка с парадоксом Монти Холла, предлагаю вашему вниманию именно софизм, то есть противоречивый "факт", "доказанный безпречно и четко". Ваша задача найти слабое место в этом "доказательстве". Заранее скажу, что это не копипаст с гугеля, а собственноручно(палечно:D) набранная задача, рассказанная мне преподавателем всеми любимой тут Теории Вероятностей и Математической Статистики, поэтому надеюсь, что быстро ответа в гугле вы не найдёте. Итак задача.

Есть плоская бесконечная пластина неважно из чего. Представляет из себя она бесконечный же набор прямоугольников сложенных сторонами, которые в школе обычно называют ширИнами(что-то не очень слово мне нравится XD). Длина и ширина первого прямоугольника по 1, длина второго 2, а ширина 0.5, длина третьего 4, а ширина 0.25, вообще длина каждого слдеующего в 2 раза больше длины предыдущего, ширина же уменьшается в те же 2 раза. Выглядит это примерно так
pix.PlayGround.ru
Нетрудно понять, что площадь данной пластины бесконечна, а стало быть для ее покраски необходимо бесконечное количество краски.
Теперь возьмем эту фигуру и будем вращать ее вокруг самой длинной стороны(нижней на рисунке) - получим тело вращения.
На самом деле это тело нам не нужно, а нужен только стакан, образующийся грацицей вращения (хз как назвать) Вообщем получаем некоторый стакан бесконечной высоты, но конечного объема.
Объем конечен потому как равен бесконечной сумме объемов цилиндров, составляющих этот стакан. V= sum(pi*(r/i)^2*(h*i) , i , 1 , inf) где r=1 и h=1 (радиус и высота первого цилиндра) Получается бесконечноая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2 и первым членом pi.
Так как объем конечен, предлагается залить в этот сосуд конечное количество краски. Теперь можно первоначальную фигуру поместить в этот стакан, благо она идеально в него войдет :D. И ВУАЛЯ! Бесконечная площадь покрашена конечным количеством краски! УРА!

В чем же подвох?

ЗЫ кто главный у того и сосуд :D

Progon_mulov.   22 апреля 2010 в 19:14

Chuvak ya ne mogu predstavit' sebe kartinu po takomu "risunku".
Narisuy chtoli v painte sam i viloji suda, chto bi bilo ponyatno

Waх   22 апреля 2010 в 19:17

Да сам охерел от такой картинки :D

backspace.by   22 апреля 2010 в 19:36

Получается бесконечноая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2 и первым членом pi
не совсем помню что это такое, и, видимо поэтому, не вижу тут этого :)

Progon_mulov.   22 апреля 2010 в 19:39

бесконечной высоты, но конечного объема.
esli ya sebe pravil'no predstavil kartinku, no oshibka v etom.esli visota beskonechna, to i ob'em beskonechen, ved' V=a^b^H
i got it?

Waх   22 апреля 2010 в 19:46

К сожалению нет, ведь площадь сечения убывает быстрее, чем увеличивается высота. То есть получается умножение бесконечно малого большего порядка на бесконечно большое меньшего порядка. В переделе объем цилиндра с номером бесконечность = 0, объем конечен и дело не в этом

Progon_mulov.   22 апреля 2010 в 19:55

znachit ya ne tak predstavlyayu sebe kartinku.

jk241   22 апреля 2010 в 19:56

Нетрудно понять, что площадь данной пластины бесконечна, а стало быть для ее покраски необходимо бесконечное количество краски.

Тоесть мы ее покрываем слоем краски не нулевой толщины. А если у этой пластины будет ненулевая толщина, то в твой стакан она уже никак не влезет.

mad wolf   22 апреля 2010 в 20:03

Теперь можно первоначальную фигуру поместить в этот стакан, благо она идеально в него войдет :D. И ВУАЛЯ! Бесконечная площадь покрашена конечным количеством краски! УРА!
В чем же подвох?

Какой подвох? математика что - запрещает красить поверхность бесконечно тонким слоем краски?

jk241   22 апреля 2010 в 20:08

Да кстати первый прямоугольник красим слоем в 1, второй слоем в 1/2, третий слоем в 1/4 и так до конца, и краски ушло 1+1/2+1/4+... = 2 и пластина вся покрашена. Однозначно утверждение "Нетрудно понять, что площадь данной пластины бесконечна, а стало быть для ее покраски необходимо бесконечное количество краски." неверно.

Progon_mulov.   22 апреля 2010 в 20:15

pix.PlayGround.ru

Krasnaya strelka - beskonechnost'
Sinyaya linyaya - os' vrascheniya
Golubaya palochka - Ob'em "stakana"

ya sebe eto tak predstavlyayu

i ya navernyaka ne prav

backspace.by   22 апреля 2010 в 20:27

вокруг другой грани вращай... стакан ступенчатый..

Progon_mulov.   22 апреля 2010 в 20:37

proshu - skrini v studiyu . ya ne ponimayu

Progon_mulov.   22 апреля 2010 в 20:47

pix.PlayGround.ru

takim obrazom?

Krasnaya strelka - beskonechnost'
Sinyaya linyaya - os' vrascheniya
Fioletovaya figura - ishodnaya

Мордраг   22 апреля 2010 в 21:04

Нетрудно понять, что площадь данной пластины бесконечна
Ничто физическое кроме вселенной не бесконечно. Когда-нибудь плстина достигнет длины в один атом:\

Progon_mulov.   22 апреля 2010 в 21:14

question: where is the glass then?

backspace.by   22 апреля 2010 в 21:38

Ничто физическое кроме вселенной не бесконечно
я бы не стал так утверждать... или ты проверял, или хоть кто-нибудь?
все может быть не так как мы думаем.
Вот представь например плоскость конечной площади. у нее есть границы... она двухмерна. А теперь возьми сферу той же площади... она уже не имеет границ, хоть площадь у нее та же, и она уже в трехмерном пространстве, хоть сама по себе и двухмерна.
То же самое может быть и с нашей 3х мерной вселенной в четырехмерном пространстве.....

Dietor   22 апреля 2010 в 22:05

почему на форуме диабло мы обсуждаем это?!))))

backspace.by   22 апреля 2010 в 22:17

пшел отседа!
это форум, что хотим, то и обсуждаем - если нету отступления от темы (оффтопа)...
xDDDDDDD

HamsterPunk   22 апреля 2010 в 22:34

backspace.by
поддерживаю))
и пока это не доказано мы можем создавать задачи такого типа))
не отговаривая мол бесконечна наша вселенная)

prihlop_sp   22 апреля 2010 в 23:06

Бесконечная площадь покрашена конечным количеством краски!

Это невозможно

prihlop_sp   22 апреля 2010 в 23:14

Объем конечен потому как равен бесконечной сумме объемов цилиндров

С чего это получился такой замечательный вывод?))

Еpiscop_moo   23 апреля 2010 в 00:04

Есть только две бесконечные вещи: Вселенная и глупость. Хотя насчет Вселенной я не уверен. (с) Эйнштейн.
А вообще хотел написать как Мордраг, то есть типо бесконечно тонким брусок быть не может, но не успел.

bd_sm[TDPG]   23 апреля 2010 в 00:07

Это невозможно
Докажи.

2 Vvaks
pi*(r/i)^2*(h*i) где r=1 и h=1
не равно объему i-й ступеньки стакана.

Vi=п*h*(2^(i-1))*((r*2^(1-i))^2) - так правильно.

Свой не посчитал, но твой один хрен расходится

qwerty1999   23 апреля 2010 в 00:36

Не люблю задачи с криво составленными условиями:
Слой краски имеет толщину? Предположительно имеет иначе затея с утончением-удлинением элементов представляется никчемной , ведь их площадь остается равной 1 квадратной единице, т.е. пределом будет размер атома краски, где вообще в условиях чтото сказано про атомы? Почему не сказано что мы будем красить бесконечной длины хреновину лишь на конечной длины участке? Если же атомы не имеют размера, как провести учет краски? Херь короче.

Нетрудно понять, что площадь данной пластины бесконечна, а стало быть для ее покраски необходимо бесконечное количество краски.
Откуда мы взяли бесконечную площадь? Видимо из бесконечной длины той самой стороны вокруг которой будем вращать фигуру.
Так если эта длина бесконечна как может при вычислении объема получиться конечный результат?

bd_sm[TDPG]   23 апреля 2010 в 01:17

Так если эта длина бесконечна как может при вычислении объема получиться конечный результат?
С этим то проблем нет, обычный сходящийся ряд.
бесконечная площадь, кстати, из условия.

qwerty1999   23 апреля 2010 в 05:18

Если объем конечен, площадь значит тоже того, етого :{

qwerty1999   23 апреля 2010 в 05:22

Кстати, Xardas, ты вроде как математик, скажи, почему ряд сходящийся если площадь всех элементов в нем равна?

Ваша задача найти слабое место в этом "доказательстве"
Слабое место в восприятии - типа элементы уменьшаются, ага конечно, мы те верим :{

jk241   23 апреля 2010 в 05:34

Ряд сходящийся у объемов, а у площадей конечно же нет. Поэтому и получается что объем конечен а площадь бесконечна.

похмелье   23 апреля 2010 в 07:13

Ряд сходящийся у объемов
Объём вычисляется с помощью следующего бесконечно ряда:

по интегральному признаку Коши-Маклорена:

=> ряд расходится и объём бесконечный

jk241   23 апреля 2010 в 07:22

Погодите, погодите. У нас длина(высота цилиндра) i-го прямоугольника = 2^(i-1) а его высота(радиус цилиндра) соответственно 1/2^(i-1)
Тоесть площадь этого прямоугольника равна 1, а объем цилиндра который им образуется равна pi * (1/2^(i-1))^2 * 2^(i-1) = pi /2^(i-1) (pi * радиус в квадрате * высота)

Этот ряд конечно же сходится. pi/1 + pi/2 + pi/4 + pi/8 + ... = pi * 2

Мордраг   23 апреля 2010 в 07:33

backspace.by
Тем более, если вселенная конечна, то физическая вещь быть бесконечной не может.
Ладно, возьмем мы этот бесконечный брусок(уже бред), и возьмем стакан краски. Но краска в стакане имеет определенное количество атомов, и не сможет покрасить бесконечную поверхность. Т.е. мы можем определенное конечное пространство покрасить краской толщиной в один атом, но дальше мы уже не сможем:\

Как-то так....

похмелье   23 апреля 2010 в 07:46

2 jk241:
и вправду. просто "наивно" взял формулу из описания задачи ;)

jk241   23 апреля 2010 в 08:02

Тут проблема в терминологии. Что значит покрасить.
Если это значит покрыть равномерно краской(не нулевой толщины), тогда засунув пластину в стакан полный краски мы ее не покрасим.

Если это означает покрыть краской как нибудь(варьируюя толщину) тогда неверно утверждение что бесконечная площадь красится только бесконечным количеством краски. Вот и все.

backspace.by   23 апреля 2010 в 11:21

если речь будет заходить об атомах, то нужно учесть, что ширина #xxx бруска будет равна ширине атома, а следовательно следующего бруска уже не будет, и площадь тоже конечна.
но если на это внимания не обращать - то я вижу налицо математический лаг)) ведь площадь то и в самом деле бесконечна, а объем конечен...

Waх   23 апреля 2010 в 12:04

Идею раскусили быстро, чего дальше то обсуждать?
Действительно, дело в определении понятия покрасить.
Если принять покраску за покрытие слоем одинаковой толщины, то с некоего номера цилиндра его радиус окажется меньше данной толщины и покраска превратится в покрытие пластинки с каждой новой ступенькой уменьшающимся слоем краски. Если все-таки принять краску за математическую абстракцию (толщина может быть любой), то получим опять же сходящийся ряд количества краски.
Теперь замечания:
1) Площадь первоначальной пластинки бесконечна как сумма ряда sum(i , i , 1 , inf), площадь каждой подпластинки =1.
2) Объем конечен и равен, как правильно посчитали 2*pi, Xardas никакой ошибки в моей формуле объема ступеньки нету, объем i-го цилиндра pi/i, испокон веку объем цилиндра вычислялся по формуле pi*r^2*h, на каждом шаге радиус уменьшается в 2 раза, а высота увеличивается
3) И как и ожидалось мной, первым правильно ответил и объяснил правильно первые 2 пункта jk241. Всем, участникам дискуссии спасибо!

Мордраг   23 апреля 2010 в 15:03

но если на это внимания не обращать - то я вижу налицо математический лаг
Если не принимать во внимание элементарных законов физики, то и не такие лаги будут:\

backspace.by   23 апреля 2010 в 15:10

элементарных законов физики
то биш?... какие относятся к элементарным? и как это связано с нашей задачей?

bd_sm[TDPG]   23 апреля 2010 в 17:24

Xardas никакой ошибки в моей формуле объема ступеньки нету, объем i-го цилиндра pi/i, испокон веку объем цилиндра вычислялся по формуле pi*r^2*h, на каждом шаге радиус уменьшается в 2 раза, а высота увеличивается
Ошибка есть, смотри внимательнее. Как минимум, ты неправильно считаешь высоту i-го цилиндра в своей формуле. Если считать по моей, то ряд действительно сходится.

И вообще, нет никакой проблемы в ограничении конечного объема бесконечной площадью, как и в том, чтобы поместить в этот объем бесконечную площадь. И с понятием "покраски" тоже проблема может решиться, если определить в условии, что "покраской" будет считаться наличие "какого-либо" слоя краски над каждой точкой окрашиваемой площади.

В логике условия есть единственное противоречие, вот оно:
1.Нетрудно понять, что площадь данной пластины бесконечна, а стало быть для ее покраски необходимо бесконечное количество краски.
2. Предельную пластинку, следуя логике условия, будем красить бесконечно тонким слоем краски, так что ничто не мешает таким же по толщине слоем окрасить всю площадь, затратив при этом бесконечно малый объем краски, либо любой конечный объем (противоречие с 1.).

2 qwerty1999
Ряд объемов сходящийся, ряд площадей, конечно же, расходится.

qwerty1999   24 апреля 2010 в 03:04

мля, с вами тут как клоун выгляжу :D

надо математику учить :C

Dietor   24 апреля 2010 в 03:54

допились.....
))

bd_sm[TDPG]   24 апреля 2010 в 11:10

Да уж, когда задача вполне конкретная, для философствований места не остается. Сюда даже Свежак писать воздерживается.

qwerty1999   24 апреля 2010 в 18:27

Ниче, все свои :D

Главное в итоге всем прийти к одному выводу :)

Еpiscop_moo   24 апреля 2010 в 21:23

Как представитель школоты, я просто обязан пофилосовствовать.
to Xardas90
Главное в итоге всем прийти к одному выводу :)
Да здравствует согласие и взаимопонимание во всех начинаниях, текущостях, и завершениях, ибо обоюдное понимание собеседников является ключом к максимально продуктивной беседе, в ходе которой каждый приводит свои обоснованные аргументы, и в итоге находится наиболее верный вариант, путём мирного обсуждения мнения каждого из участников дискуссии. Именно таким способом решались самые серьёзные проблемы человечества, но помните, что именно таким же способом человечество чаще всего создаёт себе эти самые новые проблемы. Так что важно не только адекватно воспринимать доводы собеседника, даже если они не совпадают с вашим мнением, но и уметь сохранять равновесие между разумным обсуждением и бессмысленным спором.

bd_sm[TDPG]   25 апреля 2010 в 12:46

Как представитель школоты, я просто обязан пофилосовствовать.
Что тебе еще остается если математику не учил.

bd_sm[TDPG]   25 апреля 2010 в 15:24

*не учу =)
еще хуже

Tomyk   26 апреля 2010 в 18:41

Подвох в состояниях краски. Можно сказать что изначально нужно бесконечно много площади покрасить (нанести краску, которая сама обьема не имеет, потому что если бі она имела обьем мы бы через некоторое колличество шагов не смогли наложить краску на следующую пластину ). В конце краску заливают и она имеет обьем, тоесть она континиумная. Везде щильна. Короче говоря сравнили хер с пальцем..

otherman   29 апреля 2010 в 10:49

Здесь в задаче всё чётко:
1ый рад (площадей) расходится.
2ой ряд объёмов сходится.

Только есть одно слабое место. Мы помещаем площадь в объём. То есть мы сравниваем к примеру 600м^2 < 1м^3 что есть нонсенс. То есть по сути мы килограммы сравниваем с метрами.

Мы можем рассматривать эту задачу либо в двумерном либо в трёхмерном пространстве а не прыгать как угодно из одного в другое, порождая парадоксы :)

1) В двумерном пространстве площадь сечения конусов по диагонали будет равна площади прямоугольников и она бесконечна.

2) Если мы хотим перейти в трёхмерное пространство - мы должны дать какую то глубину нашим прямоугольникам, либо принять её равной нулю. Если 0 - то парадокса нет, мы поместили фигуру нулевого объёма в какой то конечный объём.
Если у каждого прямоугольника глубина равна b >0 - то сумма объёмов будет бесконечна (b*n).
Но тогда фигура вращения будет немного по другому считаться. Пи * Половина диагонали (образованной глубиной и высотой) прямоугольника в квадрате * высоту цилиндра.

Итак формула для объёма каждого цилиндра такая Pi * ((b^2/4 + 1/4n^2))*2n, где n - номер цилиндра (помним что у нас прямой угол и a^2 + b^2 = c^2 еще никто не отменял).
Получается такой член ряда Pi/2* (nb^2 + 1/n) , где b - какое то конечное число. Этот ряд расходящийся и сумма этого ряда бесконечна. Вот и весь софизм.

P.S. Мог налажать в коэффициентах, но тем не менее, главное все n на месте.

qwerty1999   29 апреля 2010 в 20:31

То есть по сути мы килограммы сравниваем с метрами.
(прием речи называемый "утрирование", какое это имеет отношение к математике?)

Если один ряд сходится то усё норм. (выяснили уже что собака в краске зарыта)

Если мы хотим перейти в трёхмерное пространство - мы должны дать какую то глубину нашим прямоугольникам.
А математической линии судя по-всему толщину нужно давать? Какая у неё толщина? :{

backspace.by   29 апреля 2010 в 21:34

мб 1 нуклон/фотон/пион/мезон/....? (это так, перенос математики в зону влияния физики)

otherman   29 апреля 2010 в 21:53

(прием речи называемый "утрирование", какое это имеет отношение к математике?)
Такое, что величины разных размерностей сравнивать некорректно.


А математической линии судя по-всему толщину нужно давать? Какая у неё толщина? :{
Линия - одномерная фигура. Если нужно её рассмотреть в трёхмерном пространстве и вычислить объём - то он нулевой. Площадь в двумерном - тоже нулевая.

Я привёл решение задачи с расчётами, в чём проблема то? Фокус в том, что мы рассматриваем разные величины, они обе численные, но размерности разные.

qwerty1999   1 мая 2010 в 08:46

Нуклон/фотон это если линия вещественная, нас же не интересует вещественность, нас интересует поверхность плоскости(срез чего-то там какбе)

otherman Площадь и объем это не килограммы с метрами. Площадь, по сути - подмножество объема (iшото вроде этого :/)



(проблема себя исчерпала, но всегда находятся желающие поковыряться x_x мб перейдем к новым горизонтам? :{ )

bd_sm[TDPG]   1 мая 2010 в 13:32

otherman, не мешай математику с говном, нет никаких проблем в существовании математического объекта, не имеющего объема, в трехмерном пространстве. И в условии нет ничего, что бы нас заставляло сравнивать метры квадратные с метрами кубическими.
Подозреваю, что ты просто не имеешь понятия о таком разделе математики, как анализ бесконечно малых, хотя мб я не прав, и ты просто плохо его учил.

otherman   4 мая 2010 в 00:15

> Площадь, по сути - подмножество объема (iшото вроде этого :/)

То есть можно сравнивать площадь с объёмом? :) Можно поинтересоваться каким образом? (ЗЫ: на экзамене я бы отправил сразу на пересдачу после такой фразы)

> Подозреваю, что ты просто не имеешь понятия о таком разделе математики, как анализ бесконечно малых, хотя мб я не прав, и ты просто плохо его учил.

А ты я вижу мнишь себя самым великим и единственным математиком в мире, судя по твоим высказываниям. Уверяю, ты такой не один, иначе ты бы был Перельманом, а у него нет компьютера и он не сидит на форуме плейграунда.

> И в условии нет ничего, что бы нас заставляло сравнивать метры квадратные с метрами кубическими

Есть. И странно что человеку столь хорошо разбирающемуся в естественных науках, приходится это объяснять.

Итак, для величайшего математика века (или всё же человеческтва, давай определимся?) объясняю, что нас в условии заставляет сравнивать квадратные метры с кубическими.
Рассматриваем покрашенную пластину, и на этом этапе определяемся, какого объёма получается фигура в трёъмерном пространстве.
То есть по сути определяем (объясняю один раз, для великих математиков) минимальную толщину слоя краски при котором мы считаем пластину покрашеной. Есть два варианта:
1) Объём (и как следствие минимальная толщина слоя краски, или же размер молекулы краски, да, да, краска это не одна молекула, я знаю, но примем её такой - сути не меняет) нулевой - в этом случае есть либо противоречие:
а) Мы не можем субстанцией с нулевой величиной по одной из размерностей пространства (а это как ты смог догадаться "толщина молекулы" которую мы приняли нулевой) заполнить ненулевой объём в этом пространстве. Доказывать надёюсь не надо?
Теперь главное "мы сравниваем метры кубические с метрами квадратными, когда предполагаем возможность заполнить абсолютно плоской краской наши цилиндры".

б) Либо если мы всё таки не принимаем это противоречие и тупим, то получаем, что объём покрашенной фигуры меньше либо равен объёма конуса. Это неравенство всегда верно, потому как объём - неотрицателен. То есть противоречия мы не получили и слава богу.

2) Объём ненулевой. То есть толщина слоя(молекулы или как хочешь называй) краски равна b.
Тогда объём покрашеной фигуры
Объём покрашенной поверхности будет n*b.
Тогда
а) Если мы поместим эту поверхность в фигуру вращения исходной с диагональю 1/(2n), как в задаче описывалось в задаче то мы не можем считать нашу пластину покрашенной. Потому как начиная с некоторого n, 1/(2n) < b - значит молекула краски уже не поместится в этот цилиндр. То есть мы можем поместить в цилиндры нашу поверхность но при этом она не будет считаться покрашенной.
b) Чтобы считать нашу пластину помещенной в цилиндры и покрашенной надо как минимум иметь цилиндры с таким объёмом (я уже об этом писал) Pi * ((b^2/4 + 1/4n^2))*2n, где n - номер цилиндра. Тогда мы получаем расходящийся ряд с суммой стремящейся к бесконечности. И получаем, что мы обграничили тело бесконечного объёма телом бесконечного объёма, почему бы и нет, противоречия нет.


Кстати, насчёт образования и "анализа бесконечно малых".
Учился и закончил я Академическую гимназию СПбГУ, потом мат-мех СПбГУ, потом аспирантуру СПбГУ. И кстати неплохо так отучился.
Не припомню я только раздела МАТЕМАТИКИ "анализ бесконечно малых", был матан и там было всё. Так что нечего подозревать, о великий и могучий. Иди ка ты лучше в ж**у со своим самомнением.

gr8cool   4 мая 2010 в 00:20

Последнее предложение было наиболее ёмким.
Вы уж извините, не удержался.

bd_sm[TDPG]   4 мая 2010 в 00:25

Мы не можем субстанцией с нулевой величиной по одной из размерностей пространства (а это как ты смог догадаться "толщина молекулы" которую мы приняли нулевой) заполнить ненулевой объём в этом пространстве. Доказывать надёюсь не надо?

Ты путаешь понятия "нулевой" и "бесконечно малый".
Доказывать, надеюсь, не надо?

firkax   4 мая 2010 в 00:49

он там именно нулевой, если это площадь
вообще это все выше уже разобрано, "софизм" и заключается в подмене малого на нулевое либо наоборот

otherman   4 мая 2010 в 00:50

Ты путаешь понятия "нулевой" и "бесконечно малый".
Доказывать, надеюсь, не надо?


Бесконечно малым.... Ну окей(смею напомнить, что вещественное число беспокнечно малым не бывает, бесконечно малым может быть финкция или последовательность). Давай будет так. Пусть у нас толщину краски на энном прямоугольнике задаёт последовательность b(n) (b нное). Это какая то-последовательность неотрицательнах чисел (по сути), предел которой равен нулю(это чтобы бесконечно малым была, ведь мы же АНАЛИЗИРУЕМ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ!).
Тогда у нас есть два варианта

1) b(n) = o(1/n) при n -> беск (знаешь что такое о малое от n? Если нет - так вот те пример 1/n^2 = o(1/n) при n->беск, простыми словами функция b(n)/(1/n) стремится к нулю, ещё более простыми словами - b(n) стремится к нулю быстрее 1/n).

Тогда объём исходной фигуры (буквой W я буду обозначать сумму ряда от 1 до бескон по n) , W b(n) * n сумма этого ряда конечна, (lim b(n) * n -> 0 из определения 0 малого) , тогда объём цилиндров будет

W Pi * ((b^2/4 + 1/4n^2))*2n = Pi * W b^2 * n / 4 + 1/2n, тоже конечна. Противоречия не получили. Так как ограничили одно тело конечного объёма другим.

2) Если. b(n) != o(1/n), то есть lim b(n) * n > 0;
Тогда объём покрашенной фигуры бесконечен, объём цилиндров тоже (сможешь проверить сам, что ряды расходятся?). То есть опять не получили противоречия, тело бесконечного объёма ограничили бесконечным объёмом.


Нечего выкручиваться, лучше извинись за то, что выпендривался, это было бы "по-взрослому".

Dalnoboy1   4 мая 2010 в 01:10

Ааа математики, помогите с контрольной по вышке :{ 1 курс института....

otherman   4 мая 2010 в 01:12

Ааа математики, помогите с контрольной по вышке :{ 1 курс института....
Факзетщит, учись сам - потом пригодится 100%, по крайней мере голову потренируешь (тем не менее, если с чем то надо помочь разобраться - велкам ту ЛС).

Dalnoboy1   4 мая 2010 в 01:27

тем не менее, если с чем то надо помочь разобраться - велкам ту ЛС
Окей, я просто заочник и в ней полный ноль :{

bd_sm[TDPG]   4 мая 2010 в 01:31

тело бесконечного объёма ограничили бесконечным объёмом.
Конечным. Не проверял, как ты там составил формулу для i-го цилиндра, но считая по ПРАВИЛЬНОЙ формуле ряд объемов сходится, смотри выше, это можно доказать сравнив с любой сходящейся последовательностью с порядком малости меньше экспоненциального, превосходящей его во всех точках, или просто по Коши-Маклорену, уверен, ты сможешь это сделать.


Подетальнее всмотрелся в твой бред. Скажи, как у тебя получилось, что сходимость ряда объемов ЗАВИСИТ от того, какой ты примешь толщину предельного слоя краски? Фигура, КОТОРОЙ ограничивают жестко задана условием, ее объем ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ОДНОЗНАЧНО, он КОНЕЧЕН и равен 2*пи. При этом любые твои попытки представить его бесконечным выглядят очень глупо.

qwerty1999   4 мая 2010 в 04:27

на экзамене я бы
ололо :), гражданин неадеквате :{

jk241   4 мая 2010 в 06:04

Бесконечно малым.... Ну окей(смею напомнить, что вещественное число беспокнечно малым не бывает, бесконечно малым может быть финкция или последовательность). Давай будет так. Пусть у нас толщину краски на энном прямоугольнике задаёт последовательность b(n) (b нное). Это какая то-последовательность неотрицательнах чисел (по сути), предел которой равен нулю(это чтобы бесконечно малым была, ведь мы же АНАЛИЗИРУЕМ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ!).
Тогда у нас есть два варианта

1) b(n) = o(1/n) при n -> беск (знаешь что такое о малое от n? Если нет - так вот те пример 1/n^2 = o(1/n) при n->беск, простыми словами функция b(n)/(1/n) стремится к нулю, ещё более простыми словами - b(n) стремится к нулю быстрее 1/n).


если взять b(n) = 1/(n * ln(n)) то краски бескоченое количество уйдет (W b(n) = бесконечности), так что бери не o(1/n), а o(1/n^2) для надежности

to Xardas90: otherman вращает не плоскую пластину, а пластину с толщиной, неудивительно что фигура вращения у него с бесконечным объемом выходит.

otherman   4 мая 2010 в 09:02

jk241 если взять b(n) = 1/(n * ln(n)) то краски бескоченое количество уйдет (W b(n) = бесконечности), так что бери не o(1/n), а o(1/n^2) для надежности

Ты прав, я нафейлил, действительно нужно рассматривать o(1/n^2). Ну что с меня возьмёшь - ночь голова не варит :)


Xardas90 Подетальнее всмотрелся в твой бред. Скажи, как у тебя получилось, что сходимость ряда объемов ЗАВИСИТ от того, какой ты примешь толщину предельного слоя краски? Фигура, КОТОРОЙ ограничивают жестко задана условием, ее объем ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ОДНОЗНАЧНО, он КОНЕЧЕН и равен 2*пи. При этом любые твои попытки представить его бесконечным выглядят очень глупо.

Видимо ты совсем не очень внимательно читаешь (всматриваешься) в мой бред.... Человек мнящий себя офигительным математиком должен был понять мой "бред".
Тебе даже умный человек уже подсказал
jk241: вращает не плоскую пластину, а пластину с толщиной, неудивительно что фигура вращения у него с бесконечным объемом выходит.


Почему я вращаю пластину с толщиной? Я уже объяснял. Это потому что если поместить исходную пластину в наши цилиндры с краской, мы не можем считать её покрашенной (то есть противоречия мы в софизме не получаем). Почему так - я тоже объяснял.
Так вот чтобы считать её покрашеной при помещении в цилиндры, мы должны изобразить другое тело вращения. С радиусом описываемым формулой sqrt((1/2n)^2 + b(n)^2/4)) Мы даже придумали последовательность описывающую толщину слоя краски n-ного прямоугольника(b(n)), чтобы приплести сюда хоть какие-то бесконечно малые :).
Разобрали что при b(n)= o(1/n^2) и b(n)!= o(1/n^2) (спасибо jk241 что поправил меня) мы опять же не получили противоречия.

jk241   4 мая 2010 в 09:23

Вообщето так просто к двум случаям не свести, тоесть если b(n)!= o(1/n^2) то объем пластины(исходной без вращения) не всегда будет бесконечным( например b(n) = 1/n^(1,5))

но otherman несомненно прав в том, что если мы вращаем фигуру бесконечного объема, то в результате получаем фигуру тоже бесконечного объема.

jk241   4 мая 2010 в 09:40

А вот насчет вращения фигуры конечного объема.... можно взять такой пример.
n-й прямоугольник имеет 1/n^3 длину, и n высоту, толщина у всех одинаковая равна 2
Тогда объем пластины будет W 2/n^2 этот ряд сходится.

Объем n-го цилиндра будет pi*R^2*(1/n^3) где R = sqrt(1 + n^2), тоесть объем n-го цилиндра = pi*(1/n^3 + 1/n)

а ряд W pi*(1/n^3 + 1/n) расходится.

Вот так и получается объем пластины конечен, а объем фигуры вращения - бесконечен.

PS
А ну радиус цилиндра зависит от оси вращения, но там в любом случае будет ~n

bd_sm[TDPG]   4 мая 2010 в 23:12

Человек мнящий себя офигительным математиком должен был понять мой "бред".
Необязательно есть плод целиком, чтобы понять, что он гнилой (с)

Почему я вращаю пластину с толщиной?
Потому что невнимательно читал условие, по условию вращают пластину без толщины, ака с нулевой толщиной.

если поместить исходную пластину в наши цилиндры с краской, мы не можем считать её покрашенной
Ты не можешь? А я могу. Условием это не запрещено. Попробуй докажи обратное.

Если ты еще не понял, условием не задан критерий, однозначно определяющий, покрашена пластина или нет. Есть лишь ДОСТАТОЧНОЕ, но НЕ НЕОБХОДИМОЕ условие, для того чтобы считать пластину окрашенной: пластину в стакане с краской считаем окрашенной. К тому же есть фраза: Нетрудно понять, что площадь данной пластины бесконечна, а стало быть для ее покраски необходимо бесконечное количество краски, которая, кстати, не является условием, вроде: "Постулирую, чтобы считать пластину окрашеной, нужно на нее вбухать бесконечное количество краски", а является домыслом автора задачи, с которым он и вступает в противоречие, пытаясь покрасить пластину методом опускания в стакан (конечного, в который раз повторяюсь, объема). Далее автор нас спрашивает, в чем же подвох? Мы ему и отвечаем: смотри, ты же сам себе противоречишь.

Для совсем дотошных, можно считать заданием НЕОБХОДИМОГО условия для того, чтобы считать пластину окрашенной, фразу Нетрудно понять, что площадь данной пластины бесконечна, а стало быть для ее покраски необходимо бесконечное количество краски, но тогда парадокса вообще никакого нет, метод со стаканом отметается, как не удовлетворяющий условию.

Кстати, че ты заладил: велики математег, велики математег, тут матан за первый семестр первого курса, в котором ты путаешься, как в трех соснах.


2 jk241
но otherman несомненно прав в том, что если мы вращаем фигуру бесконечного объема, то в результате получаем фигуру тоже бесконечного объема.
Очевидно это так, но это не аргумент.

otherman   8 мая 2010 в 00:55

Ты не можешь? А я могу. Условием это не запрещено. Попробуй докажи обратное.

Чтобы считать пластину окрашеной на ней должен быть слой краски какой-то толщины. Попробуй в наши цилиндры запихать пластину с каким нибудь ненулевым по толщине слоем краски. Получится? Нет. Объяснял уже почему.

Потому что невнимательно читал условие, по условию вращают пластину без толщины, ака с нулевой толщиной.

Да пускай вращают, но пластина с краской туда не поместится. Чего уж тут думать.

Кстати, че ты заладил: велики математег, велики математег

Да это ты себя им мнишь. Всех пообзывал, выпендрился, а сам не можешь понять в чём суть. В общем то неудивительно, если у тебя висит предупреждение, следовательно это в твоей манере так себя вести.

bd_sm[TDPG]   8 мая 2010 в 19:49

Чтобы считать пластину окрашеной на ней должен быть слой краски какой-то толщины. Попробуй в наши цилиндры запихать пластину с каким нибудь ненулевым по толщине слоем краски. Получится? Нет. Объяснял уже почему.

В случае со стаканом, заданным по условию, этим слоем станет зазор между пластиной и стенками стакана.

Да пускай вращают, но пластина с краской туда не поместится.
А нам не надо пихать в стакан пластину с краской, мы пихнем ее без краски, а краску зальем после. Без краски, Очевидно, залезет.

Суть, как всем ясно, не понимаешь ты, раз пишешь такое ^

otherman   9 мая 2010 в 11:24

В случае со стаканом, заданным по условию, этим слоем станет зазор между пластиной и стенками стакана.

Уже сил объяснять тебе нет... Ты определенно туп, чтобы хоть что-то понять...

bd_sm[TDPG]   9 мая 2010 в 11:37

"Покраска" = "наличие слоя" = "наличие зазора между пластиной и стаканом на каждом шаге"

Для любого сколь угодно большого номера цилиндра М можно найти минимальную толщину слоя краски b, который будет на пластине, окрашенной методом опускания в стакан, причем объем всей краски будет конечным и равным 2*п.

При этом не произойдет никаких сравнений квадратных метров с кубическими, все залезет куда надо, и не придется вращать объемные пластины, получая бесконечные и никому не нужные стаканы.

А твои обвинения меня в тупости и непонимании сути на фоне того, что ты сам пишешь невесть какую ересь, выглядят как очень дешевый понт, рассчитанный разве что на читающую тему по диагонали школоту.

otherman   9 мая 2010 в 13:43

Для любого сколь угодно большого номера цилиндра М можно найти минимальную толщину слоя краски b, который будет на пластине, окрашенной методом опускания в стакан, причем объем всей краски будет конечным и равным 2*п.

Нет, нельзя (грубо говоря край пластины всегда будет неокрашен)! Докажи что это возможно, желательно с формулами, а не пустой болтовнёй

qwerty1999   9 мая 2010 в 13:49

Вроде уже порешили задачку то? Цилиндр сузиться до размеров, меньших, чем атом краски... о чем говорить ещё?

otherman   9 мая 2010 в 14:03

Вроде уже порешили задачку то? Цилиндр сузиться до размеров, меньших, чем атом краски... о чем говорить ещё?

Да, это случай, когда размер атома краски конечен и фиксирован. (Я его рассматривал, если посмотришь, как рассматривал размер атома нулевой, а также переменный в зависимости номера цилиндра)

НО! Xardas90 предлагает такое
Для любого сколь угодно большого номера цилиндра М можно найти минимальную толщину слоя краски b, который будет на пластине, окрашенной методом опускания в стакан, причем объем всей краски будет конечным и равным 2*п.

То есть размер атома краски будет меняться в зависимости от номера цилиндра. (Кстати я такой вариант тоже рассматривал и jk241 тоже рассматривал). Вот теперь я прошу его доказать и самому убедиться в том, что методом опускания в стакан у нас пластинка не будет покрашена.

Это самое слабое место в софизме. Мы считаем пластину покрашеной, но вот граница пластины не будет покрашена ни для какого размера атома краски (кроме нулевого) при опускании её в цилиндры из условия...

qwerty1999   9 мая 2010 в 18:01

Мб чертежами лучше мысли выражать будете? Мне лень чертить шото, но, чувствую вы в терминологии путаетесь.

otherman   9 мая 2010 в 21:24

Мб чертежами лучше мысли выражать будете? Мне лень чертить шото, но, чувствую вы в терминологии путаетесь.

Я вобще хотел от Xardas90 дождаться какого-то доказательства его постулата... Ну да ладно
В общем то рисовать я не особо умею. Но вот, что получилось :)



В этом рисунке слева пластинка с длиной R (мы рассматриваем её проекцию). А на ней слой краски шириной a (пусть будет переменный, такой как хочет Xardas90 но тем не менее мы утверждаем что a > 0).
А справа у нас проекция цилиндра с диаметром R, в которую мы помещаем нашу пластину. Господин Xardas утверждает, что можно подобрать такое a > 0 - чтобы пластина была окрашена при помещении в цилиндр. Так?

А что значит что она будет окрашена? Это значит что хотя бы с одной стороны на ней будет слой краски толщиной в a.
То есть, господин X утверждает, что мы можем такую покрашенную пластину поместить в исходный цилиндр, надо только подобрать правильное a....


Допустим мы подобрали такое a > 0, что у нас всё таки пластина с краской поместилась в цилиндр. То есть по сути вписали наш прямоугольник каким-то чудесным образом в окружность.
Вспоминаем школьный курс математики и получаем, что для любой вписаной в окружность фигуры расстоянием между двумя точками этой фигуры должно быть меньше либо равно диаметру окружности. Диаметр у нас R.

Тепеь возьмём диагональ нашего прямоугольника: sqrt(R^2 + a^2) <= R |==> R^2 + a ^2 <= R^2 |==> a^2 <=0

Такое неравенство a^2 <=0 верно только при a=0, следовательно, мы не можем подобрать a > 0 такое, чтобы вписать нашу фигуру в окружность.

Stass26   9 мая 2010 в 21:39

Прошу прощения(за бред который получится), но я так понял что фигура выглядит как вавилонская башня каждый этаж которой тоньше(диаметр) и длинней(высота) - так?
Объем конечен получается(поверю на слово), а площадь бесконечная - так?
Но красим мы же поверхность(площадь) а не объем - так?
Значит(как я понимаю) если запихнуть фигуру в стакан бесконечная пика будет торчать из стакана которая уже не будет иметь объем, но будет иметь площадь,
Простите могу ошибаться.

bd_sm[TDPG]   10 мая 2010 в 00:09

Озер, один маааленький момент, который тебя сейчас посадит на железный кол. Приготовься испытывать боль сам знаешь где, это будет сурово...
Барабанная дробь....


...Мы красим исходную пластинку, Вася, так что подели длину своей проекции пополам, и помести ее как тебе будет удобно....
:CCCCCCCCC

стасс, ты ошибаешься, так как стакан имеет длину пики, то есть бесконечную.

otherman   10 мая 2010 в 00:57

Xardas90 Озер, один маааленький момент, который тебя сейчас посадит на железный кол. Приготовься испытывать боль сам знаешь где, это будет сурово...
Барабанная дробь....



Испытал лёгкий анальный шок, действительно некорректно понял то, как мы вращаем, мой фейл. Но, читай дальше.

Пытаемся вычислить максимальную толщину краски на n-ном прямоугольнике, который можно поместить в цилиндр. Картинка :)


То есть вычисляем чему равна красная линия. Получается sqrt(3)*R.
R -это ширина прямоуггольников, у нас задается формулой: 1/(2^n). Длина задаётся 2^n
Тогда объём покрашенной пластины будет(W - это сумма по n) W (1/2^n * 2^n * sqrt(3)/2^n) = 2*sqrt(3); То есть объём покрашенной фигуры конечен :)

bd_sm[TDPG]   10 мая 2010 в 04:27

Да, конечен, и никаких проблем. Я бы даже не стал заморачиваться с покраской пластины параллелипипедом, а просто отцентровал бы ее, тогда она будет окрашена со всех сторон, и слоем краски по сути будет внутренняя полость стакана.

Stass26   10 мая 2010 в 07:44

Ксардас90, раз стакан бесконечен - значит нужно бесконечное кол-во краски. Я вообще не понимаю кто что доказывает ^_^

bd_sm[TDPG]   10 мая 2010 в 13:12

Его высота бесконечна, но не объем.

Stass26   10 мая 2010 в 15:03

Ты щас про стакан или фигуру? У фигуры может и конечный объем, а у стакана бесконечный.
Причем объем ваще? Пику которая уже не будет иметь объем все еще будет иметь площадь, которую все равно надо покрасить.
Ксардас ты вообще за что? За конечное кол-во или бесконечное кол-во краски?
Я за бесконечное ^_^

bd_sm[TDPG]   10 мая 2010 в 15:10

Что ты называешь фигурой?
Стаканом я называю ту вавилонскую башню, которая у нас получилась вращением пластины.

Stass26   10 мая 2010 в 16:13

Все, нашел, джк241 и Вокс уже написали что ниче не получится(всмысле покрасить конечным кол-вом краски). И почему же спор дальше продолжается?

bd_sm[TDPG]   10 мая 2010 в 16:25

Потому что получится, смотри последний пост otherman'a.

qwerty1999   10 мая 2010 в 16:41

смотри последний пост otherman'a.
я лично ничё в нем не понял :/

bd_sm[TDPG]   10 мая 2010 в 17:29

Даже если не понял, очевидно, что объемная фигура любой формы, вписанная в конечный объем никак не превзойдет его, то есть тоже будет обладать конечным объемом.

2 стас, они написали, что не получится покрасить конечным объемом, если ввести удобное им определение "покраски". Условием же введено другое; для упертых даже два других, на выбор, исходя из которых мы так и так приходим к противоречию, если будем следовать предложенному решению.

Stass26   10 мая 2010 в 18:49

Вот смотри есть отрезок 1см далее его продолжает отрезок 1/2, далее 1/4,...1/бесконечность.
Не составит труда понять, что Длинна всех отрезков меньше 2 см, однако же кол-во отрезков бесконечное.
так же и здесь, по объему нельз9 судить, площадь бесконечна9 и краски надо бесконечно

bd_sm[TDPG]   10 мая 2010 в 19:54

Вот смотри есть отрезок 1см далее его продолжает отрезок 1/2, далее 1/4,...1/бесконечность.
Это ты про какие отрезки говоришь?

Stass26   10 мая 2010 в 21:35

Это я и примеру привел подобный пример.
Смысл в том, что все цилиндры будут иметь объем хоть и бесконечно малый, но площади цилиндров все равно надо красить одинаково это с точки зрения логики

bd_sm[TDPG]   11 мая 2010 в 00:06

Площадь стенок будет бесконечная, объем краски, необходимый на их покраску конечным, здесь нет противоречия.

А вот если ты потребуешь, чтобы мы задали вещественное число, большее нуля, определяющее толщину слоя краски по всей фигуре вращения, то решить задачу покраски конечным объемом будет уже невозможно. Кстати, если ты собираешься, как ты сказал, одинаково красить площади цилиндров, то у тебя возникнет проблема с покраской внутренних площадей, ведь там слой краски нужно будет выбирать все меньший с каждым шагом.

Да и вообще, от нас никто не требует красить площади цилиндров, если уж на то пошло.

edit
Otherman
, попробуй взглянуть не на проекцию отдельной пластины и цилиндрика, а на проекцию всей фигуры. Если располагать как у тебя, то формула для расчета объема получится другой (если красить параллелепипедом), так как изображенное положение сможет занимать лишь предельная пластинка, если, конечно, мы их на куски не порубим. Сути дела это не меняет, но все же.
зы меня может глючить, сейчас 3 часа ночи :C

Stass26   11 мая 2010 в 08:09

А обязательно ли пихать фигуру в стакан?
Если нет то краски надо бесконечно и ничто не помешает нам это сделать, правда слой краски будет толще относительно ширины чем дальше тем больше

firkax   11 мая 2010 в 11:37

ничего не понял в последних рассуждениях Xardas90 и otherman (лень читать столько), но ответ был где-то в начале темы

Stass26   11 мая 2010 в 13:00

Имхо объем сбивает с толку, по условию нам надо красить пластинку, вот

bd_sm[TDPG]   11 мая 2010 в 19:42

2 стасс
Имхо объем сбивает с толку, по условию нам надо красить пластинку, вот
Так называемые парадоксы автора, шокирующие читателя, находятся часто не в книге автора, а в голове читателя (Ф. Ницше)

А обязательно ли пихать фигуру в стакан?
Если нет то краски надо бесконечно

Где здесь логика?

Stass26   11 мая 2010 в 21:30

Вот где: автор говорит что надо покрасить фигуру(пластинки) и утверждает что надо бесконечное кол-во краски, потом надевает на фигуру стакан, который просто мешает красить фигуру и утверждает что теперь её(фигуру) можно покрасить уже конечным кол-вом краски.
Вот и все

otherman   11 мая 2010 в 22:51

Otherman, попробуй взглянуть не на проекцию отдельной пластины и цилиндрика, а на проекцию всей фигуры. Если располагать как у тебя, то формула для расчета объема получится другой (если красить параллелепипедом), так как изображенное положение сможет занимать лишь предельная пластинка, если, конечно, мы их на куски не порубим. Сути дела это не меняет, но все же.


Да, проекция будет другая, конечно же. Это сделано (по сути "порубили" пластины) для удобства расчётов. Мы ограничили максимально возможный слой краски сверху и получили что объём при покраске конечен, следовательно и наш меньший слой будет конечен.

bd_sm[TDPG]   12 мая 2010 в 00:10

2 otherman
Да, и один хрен, все что в стакане, все конечно.

2 stass
автор говорит что надо покрасить фигуру(пластинки) и утверждает что надо бесконечное кол-во краски, потом надевает на фигуру стакан, который просто мешает красить фигуру и утверждает что теперь её(фигуру) можно покрасить уже конечным кол-вом краски.
Ничто нам не мешает ее покрасить в стакане. На каждой пластинке будет ненулевой слой краски, даже otherman, который это так долго оспаривал, в конце концов пришел к этому выводу.

Stass26   12 мая 2010 в 09:32

Ксардас, я понял ход твоих мыслей(безусловно ты прав), но меня сбивал с толку Ваш стакан, потому что это, имхо, "геморой".
Достаточно красить каждую последующую пластинку слоем в 2(n) раза меньше чем предыдущую, тогда краски потребуется столько же сколько и на две первоначальные пластинки.
Кстати таким же образом можно покрасить любую плоскость просто поделив её на равные квадраты :)
Зы, краски с вашим стаканом уйдет больше ^_^

bd_sm[TDPG]   12 мая 2010 в 20:23

Ну а разве задачка не для того задавалась, чтобы мы погеморроились?